Algèbre linéaire Exemples

$\frac{2}{5} x + y = - 3$ , $y = \frac{2}{5} x + 3$

Étape 1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{5} + y = - 3, y = \frac{2}{5} x + 3$

Étape 2

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{5} + y = - 3, y = \frac{2 x}{5} + 3$

Étape 3

Soustrayez $\frac{2 x}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{5} + y = - 3, y - \frac{2 x}{5} = 3$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 1 & - 3 \\ - \frac{2}{5} & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 5

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} & \frac{5}{2} \cdot 1 & \frac{5}{2} \cdot - 3 \\ - \frac{2}{5} & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 5.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{15}{2} \\ - \frac{2}{5} & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{15}{2} \\ - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 1 + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & 3 + \frac{2}{5} (- \frac{15}{2}) \end{array}]$

Étape 5.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{15}{2} \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Étape 5.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 5.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{2} \cdot 0 & \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot 1 & - \frac{15}{2} - \frac{5}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = - \frac{15}{2}$

$y = 0$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- \frac{15}{2}, 0)$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{15}{2} \\ 0 \end{array}]$